Um hospital exigiu cheque-caução para minha internação, isso é correto?

Não. A exigência de cheque-caução é abusiva e crime previsto no Código Penal Brasileiro, conforme artigo 135-A: Exigir cheque-caução, nota promissória ou qualquer garantia, bem como o preenchimento prévio de formulários administrativos, como condição para o atendimento médico-hospitalar emergencial:

Pena - detenção, de 3 (três) meses a 1 (um) ano, e multa. Parágrafo único. A pena é aumentada até o dobro se da negativa de atendimento resulta lesão corporal de natureza grave, e até o triplo se resulta a morte."